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16 julio, 2011

Segunda ley de Kepler (El teorema del área)

Figura 1. Áreas iguales.

La segunda ley de Kepler, llamada también: teorema del área, afirma que una recta, que va desde el sol a un planeta, barre áreas iguales en tiempos iguales. La belleza de esta ley radica en que, además de basarse en hechos experimentales, establece una propiedad fundamental que cumplen los campos de fuerzas centrales (fuerzas del tipo \mathbf{F}=F(r)\mathbf{u}_{r}), como por ejemplo: el campo gravitatorio. Pero, ¿cuál es esa propiedad? Resulta que la propiedad en cuestión es la enunciada por la segunda ley de Kepler. Es decir, cualquier campo de fuerzas centrales, en especial el gravitatorio, cumple con la segunda ley de Kepler y viceversa: la validez del teorema del área implica que el campo de fuerzas es central. En éste post mostraremos dicho resultado.

Partiremos aceptando la primera ley de Kepler, que de hecho es un resultado obtenido de la observación directa del movimiento planetario. Esta ley nos dice que todos los planetas se mueven en elipses y con el sol en uno de sus focos. Esto implica que los planetas se mueven en un plano y sobre una trayectoria curva muy particular: la elipse. Para comenzar a describir el movimiento, es conveniente utilizar coordenadas polares, dado que el movimiento es parecido al movimiento circular.

Figura 2. Vectores unitarios polares.

Primero escribimos los vectores unitarios polares: \mathbf{u}_{r}, \mathbf{u}_{\theta} en términos de los vectores unitarios canónicos \mathbf{u}_{x}, \mathbf{u}_{y}; ayudándonos de la Figura 2:

\mathbf{u}_{r}=\cos\theta\mathbf{u}_{x}+\sin\theta\mathbf{u}_{y}

\mathbf{u}_{\theta}=-\sin\theta\mathbf{u}_{x}+\cos\theta\mathbf{u}_{y}

Ésto se hace porque \mathbf{u}_{r} y \mathbf{u}_{\theta} cambian de dirección constantemente, mientras que \mathbf{u}_{x} y \mathbf{u}_{y} siempre permanecen fijos.

Con esto, escribimos la posición \mathbf{r}, velocidad \mathbf{v} y aceleración \mathbf{a} en coordenadas polares:

\mathbf{r}=r\mathbf{u}_{r}

\mathbf{v}\equiv\dot{\mathbf{r}}=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=\dot{r}\mathbf{u}_{r}+r\dot{\mathbf{u}}_{r}=\dot{r}\mathbf{u}_{r}+r\dot{\theta}\mathbf{u}_{\theta}

\mathbf{a}\equiv\dot{\mathbf{v}}=\frac{d\mathbf{v}}{dt}=\ddot{r}\mathbf{u}_{r}+\dot{r}\mathbf{\dot{u}}_{r}+\dot{r}\dot{\theta}\mathbf{u}_{\theta}+r\ddot{\theta}\mathbf{u}_{\theta}+r\dot{\theta}\mathbf{\dot{u}}_{\theta}

\mathbf{a}=\left(\ddot{r}-r\dot{\theta}^{2}\right)\mathbf{u}_{r}+\left(r\ddot{\theta}+2\dot{r}\dot{\theta}\right)\mathbf{u}_{\theta}\qquad\mathbf{(1)}

Ya que

\mathbf{\dot{u}}_{r}=\left(-\sin\theta\mathbf{u}_{x}+\cos\theta\mathbf{u}_{y}\right)\dot{\theta}=\dot{\theta}\mathbf{u}_{\theta}

\mathbf{\dot{u}}_{\theta}=\left(-\cos\theta\mathbf{u}_{x}-\sin\theta\mathbf{u}_{y}\right)\dot{\theta}=-\dot{\theta}\mathbf{u}_{r}

Figura 3. Elemento de área.

Ahora calcularemos la velocidad areolar: el área \Delta A que barre la recta dirigida (sol-planeta) en un intervalo de tiempo \Delta t. Para esto, consideremos la Figura 3. Utilizando las propiedades vectoriales, observamos que el área contenida en el triángulo de lados \mathbf{r}, \Delta\mathbf{r} y \mathbf{r}+\Delta\mathbf{r} se puede escribir como:

\Delta\mathbf{A}=\frac{1}{2}\mathbf{r}\times\Delta\mathbf{r}

Por lo que la velocidad areolar estará dada por:

\frac{\Delta\mathbf{A}}{\Delta t}=\frac{1}{2}\mathbf{r}\times\frac{\Delta\mathbf{r}}{\Delta t}

Ahora, si consideramos un intervalo de tiempo muy corto, es decir, si \Delta t\to0, entonces los cocientes \Delta\mathbf{A}/\Delta t y \Delta\mathbf{r}/\Delta t se convierten en derivadas y la velocidad areolar instantánea se expresa finalmente:

\frac{d\mathbf{A}}{dt}=\dot{\mathbf{A}}=\frac{1}{2}\left(\mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right)

Ahora, supondremos que el teorema del área es válido, esto equivale a decir que la magnitud de la velocidad areolar es constante. Ya que lo que hallamos fue una expresión vectorial, mientras que la segunda ley de Kepler menciona solo la magnitud escalar: área. Entonces tenemos que:

\left\Vert \frac{d\mathbf{A}}{dt}\right\Vert =\frac{1}{2}\left\Vert \mathbf{r}\times\frac{d\mathbf{r}}{dt}\right\Vert =\frac{1}{2}\left\Vert \mathbf{r}\times\mathbf{v}\right\Vert =\frac{1}{2}r^{2}\dot{\theta}=cte

Ahora, como esta cantidad es constante, por hipótesis, entonces su derivada respecto al tiempo debe ser igual a cero. Entonces:

\frac{d}{dt}\left(r^{2}\dot{\theta}\right)=r\left(2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}\right)=0

Pero, recordando un poco, el factor entre paréntesis ya lo habíamos obtenido en algún momento. ¡Claro! La expresión (1) para la aceleración \mathbf{a} en coordenadas polares tiene como componente tangencial dicho factor, y como r no puede ser cero, entonces 2\dot{r}\dot{\theta}+r\ddot{\theta}=0 lo cual quiere decir que no hay aceleración tangencial, es decir, la fuerza sólo tiene componente radial y por lo tanto es central.

Hemos mostrado que el teorema del área implica que el campo de fuerzas es central, pero, si el campo es central, ¿se cumple el teorema del área? La respuesta es afirmativa, y lo mostraremos a continuación.

Supongamos que estamos estudiando el movimiento de un objeto en un campo central. Se sabe que para una fuerza central, la torca \mathbf{T} sobre el cuerpo debida dicha fuerza es cero, es decir:

\mathbf{T}=\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\mathbf{0}

Ya que \mathbf{r} y \mathbf{F} son colineales, i.e. se encuentran sobre la misma linea -aquella que une al sol con el planeta en órbita. Esto, de la definición de una fuerza central. Ahora como la torca es la derivada del momento angular respecto al tiempo, se tiene que:

\mathbf{T}=\frac{d\mathbf{L}}{dt}=\mathbf{\dot{L}}=\mathbf{0}

\therefore\mathbf{L}=\vec{cte}

Esto es, el momento angular es constante en el tiempo. Ahora, de la definición de momento angular tenemos:

\mathbf{L}=\mathbf{r}\times\mathbf{p}=\mathbf{r}\times m\mathbf{v}=\vec{cte}

Y calculando la magnitud de \mathbf{L} se tiene:

\left\Vert \mathbf{L}\right\Vert =m\left\Vert \mathbf{r}\times\mathbf{v}\right\Vert =mr^{2}\dot{\theta}=cte

Pero r^{2}\dot{\theta} no es otro que el doble de la magnitud de la velocidad areolar \dot{\mathbf{A}}. Por lo tanto se concluye que si el campo de fuerzas estudiado es central, entonces se cumple el teorema del área -la segunda ley de Kepler.

Así, todo campo de fuerzas es central si, y sólo si, se cumple la ley de áreas iguales en tiempos iguales.  \blacksquare

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1 comentario »

  1. Si señor, te lo has “currado” muy bien. Kepler estaría orgulloso.

    Comentario por Jose Javier — 27 agosto, 2011 @ 3:13 am


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